Question

3．設a_n=$\frac{8n}{3}$•cosnπ•sin$\frac{nπ}{3}$•（sin$\frac{n+1}{3}$π-$\frac{1}{2}$sin$\frac{nπ}{3}$），則數列{a_n}的前2015項的和S₂₀₁₅=（　�。�

• A． 0
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 求出a_n=$\frac{2\sqrt{3}n}{3}$cosnπsin$\frac{2nπ}{3}$，由{$cosnπsin\frac{2nπ}{3}$}是以6為周期的周期數列，推導出a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=6，由此能求出數列{a_n}的前2015項和S₂₀₁₅．

解答 解：a_n=$\frac{8n}{3}$•cosnπ•sin$\frac{nπ}{3}$•（sin$\frac{n+1}{3}$π-$\frac{1}{2}$sin$\frac{nπ}{3}$）（n∈N^*）
=$\frac{8n}{3}cosnπ•sin\frac{nπ}{3}$（$sin\frac{nπ}{3}cos\frac{π}{3}+cos\frac{nπ}{3}sin\frac{π}{3}$-$\frac{1}{2}sin\frac{nπ}{3}$）
=$\frac{8n}{3}cosnπ•sin\frac{nπ}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}cos\frac{nπ}{3}$
=$\frac{2\sqrt{3}n}{3}$cosnπsin$\frac{2nπ}{3}$．
{$cosnπsin\frac{2nπ}{3}$}是以6為周期的周期數列，且前6項為$-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，
∴a₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}cosπsin\frac{2π}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-1，
${a}_{2}=\frac{2\sqrt{2}×2}{3}cos2πsin\frac{4π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×2×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=-2，
${a}_{3}=\frac{2\sqrt{3}×3}{3}cos3πsin2π$=0，
a₄=$\frac{2\sqrt{3}×4}{3}cos4πsin\frac{8π}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
a₅=$\frac{2\sqrt{3}×5}{3}cos5πsin\frac{10π}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=5，
${a}_{6}=\frac{2\sqrt{3}×6}{3}cos6πsin\frac{12π}{3}$=0，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=-1-2+0+4+5+0=6，
a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂=-7-8+0+10+11+0=6，
…
∵2015=335×6+5，
∴數列{a_n}的前2015項和S₂₀₁₅=335×6+（-1-2+0+4+5）=2016．
故選：D

點評 本題考查數列的和的求法，根據條件利用兩角和差的正弦公式進行化簡，判斷函數的周期性是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．解題時要認真審題，注意三角函數周期性的合理運用．