在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中b=
3
2
，tanA+tanC+tan
π
3
=tanAtanCtan
π
3
，則a+c的取值范圍是
（
3
2
，
3
]
（
3
2
，
3
]
．
分析：依題意，可求得B=
π
3
，利用正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
與三角函數(shù)間的恒等變換即可求得a+c的取值范圍．
解答：解：∵tanA+tanC+tan
π
3
=tanAtanCtan
π
3
，
∴tanA+tanC=-
3
（1-tanAtanC），
∴
tanA+tanC
1-tanAtanC
=-
3
，即tan（A+C）=-
3
；
∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴tan（A+C）=-tanB=-
3
，
∴tanB=
3
，B=
π
3
．
∴A+C=
2π
3
，又b=
3
2
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
c
sinC
b
sinB
=
3
2
3
2
=1得：a=sinA，c=sinC，
∴a+c=sinA+sinC
=sinA+sin（
2π
3
-A）
=sinA+
3
2
cosA+
1
2
snA
=
3
2
sinA+
3
2
cosA
=
3
sin（A+
π
6
），
∵A∈（0，
2π
3
），
∴A+
π
6
∈（
π
6
，
5π
6
），
∴
3
2
＜
3
sin（A+
π
6
）≤
3
．
∴a+c的取值范圍是（
3
2
，
3
]．
點評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查正弦定理與三角函數(shù)間的恒等變換的應用，考查正弦函數(shù)的性質，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•天津）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a=2，c=
2
，cosA=-
2
4
．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根，2cos（A+B）=1，則△ABC的面積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=3
2
，則B的大小為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知B=60°，不等式x2-4x+1＜0的解集為{x|a＜x＜c}，則b=
13
13
．

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