Question

19．設函數(shù)f（x）=-x³+3x+2分別在x₁、x₂處取得極小值、極大值．xOy平面上點A、B的坐標分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），該平面上動點P滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4．求：
（1）求點A、B的坐標；
（2）求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：函數(shù)f（x）=-x³+3x+2，求導f'（x）=-3x²+3，f'（x）=0，解得：x=1或x=-1，當f'（x）＜0，解得：x＜-1或x＞1，當f'（x）＞0，解得：-1＜x＜1，因此函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，代入即可求得點A、B的坐標；
（2）$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{-1-x，-y}）•（{1-x，4-y}）={x^2}-1+{y^2}-4y=4$，整理即可求得動點P的軌跡方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x³+3x+2，求導f'（x）=-3x²+3，
令f'（x）=0，
解得：x=1或x=-1，
當x＜-1時，f'（x）＜0，
當-1＜x＜1時，f'（x）＞0，
當x＞1時，f'（x）＜0，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

所以，函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4，
所以點A、B的坐標為A（-1，0），B（1，4）．
（2）設P（x，y），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{-1-x，-y}）•（{1-x，4-y}）={x^2}-1+{y^2}-4y=4$，
整理得：x²+（y-2）²=9，
∴動點P的軌跡方程：x²+（y-2）²=9．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)函數(shù)的單調性及極值，考查函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的綜合應用，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．