Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c．
（Ⅰ）用余弦定理證明：當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，a²+b²＜c²；
（Ⅱ）當(dāng)鈍角△ABC的三邊a，b，c是三個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（I）∠C為鈍角時(shí)?cosC＜0，然后根據(jù)余弦定理得出c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，即可證明結(jié)論．
（II）先設(shè)△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1，從而得出n-1）²+n²＜（n+1）²，求出n，當(dāng)n=2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去，當(dāng)n=3時(shí)，求出△ABC三邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出cosC，再由正弦定理求出外接圓半徑．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，cosC＜0，（2分）
由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，（5分）
即：a²+b²＜c²．（6分）
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)∠C為鈍角，
由（Ⅰ）得（n-1）²+n²＜（n+1）²?n²-4n＜0?0＜n＜4，（9分）
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
當(dāng)n=2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去，
當(dāng)n=3時(shí)，△ABC三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，（11分）
cosC=

22+32-42

2×2×3

=-

1

4

?sinC=

15

4

，（13分）
△ABC外接圓的半徑R=

c

2sinC

=

4

2× 15 4

=

8 15

15

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理和余弦定理，對(duì)于外接圓半徑利用正弦定理得到即可，屬于中檔題．