Question

設A、B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，（1，

3

2

）為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
（1）求橢圓的方程；
（2）設P（4，x），（x≠0），若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M，N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由點（1，

3

2

）在橢圓上得到a，b的關系式，再由a=2c及隱含條件聯(lián)立求得a，b，則橢圓方程可求；
（2）設出P，M的坐標，得到AP的點斜式方程，和橢圓聯(lián)立求得M的坐標，同理求得n的坐標，由

BM

，

BN

的數(shù)量積小于0得答案．

解答： （1）解：∵（1，

3

2

）為橢圓上一點，
∴

12

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，即

1

a2

+

9

4b2

=1，
又a=2c，a²=b²+c²，
∴a=2，b=

3

．
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
設P（4，t），M（x_M，y_M），
則直線PA的方程為：y=

t

6

（x+2），（t≠0）．
由

y= t 6 (x+2) 3x2+4y2-12=0

，得 （27+t²）x²+4t²x+4t²-108=0．
∵直線PA與橢圓相交于異于A的點M，
∴-2+x_M=-

4t2

t2+27

，
xM=

54-2t2

t2+27

，
由y_M=

t

6

（x_M+2），得yM=

18t

t2+27

．
M（

54-2t2

t2+27

，

18t

t2+27

）．
同理求得N（

2t2-6

t2+3

，

-6t

t2+3

）．
∴

BM

=(

-4t2

t2+27

，

18t

t2+27

)，

BN

=(-

12

t2+3

，

-6t

t2+3

)．
由

BM

•

BN

=

4t2

t2+27

•

12

t2+3

-

18t

t2+27

•

6t

t2+3

=

48t2-108t2

(t2+27)(t2+3)

=

-60t2

(t2+27)(t2+3)

＜0．
∴點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，特別是對于（2）的證明，轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積小于0使問題變的相應簡潔，考查了學生的計算能力，是壓軸題．