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【題目】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若直線經過曲線的焦點且與曲線相交于兩點，設線段的中點為，求的值.

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由直線的參數方程消去參數得直線的普通方程，再根據極坐標方程與直角坐標方程的轉化關系可得曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）根據已知條件可得直線的參數方程，將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程中，根據直線參數方程中的參數的幾何意義和交點的中點可得的值.

（Ⅰ）∵直線的參數方程為（為參數），

∴直線的普通方程為 ，

由，得，即，

∴曲線的直角坐標方程為，

（Ⅱ）∵直線經過曲線的焦點

∴ ，直線的傾斜角．

∴直線的參數方程為（為參數）

代入，得，

設兩點對應的參數為．

∵為線段的中點，∴點對應的參數值為．

又點，則.

練習冊系列答案
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【題目】如圖（1），等腰梯形，，，，、分別是的兩個三等分點.若把等腰梯形沿虛線、折起，使得點和點重合，記為點，如圖（2）.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程(為參數)，直線的參數方程(為參數).

（1）求曲線在直角坐標系中的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當曲線截直線所得線段的中點極坐標為時，求直線的傾斜角.

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【題目】定義：若函數在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復區(qū)間長度”為，已知函數，則（ ）

A.是的一個“完美區(qū)間”

B.是的一個“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復區(qū)間長度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復區(qū)間長度”的和為

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【題目】函數和有相同的公切線，則實數a的取值范圍為_____________．

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【題目】某校倡導為特困學生募捐，要求在自動購水機處每購買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數和收入情況，列表如下：

售出水量（單位：箱）

7

6

6

5

6

收入（單位：元）

165

142

148

125

150

學校計劃將捐款以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學金500元；綜合考核21-50名，獲二等獎學金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學金．

（1）若與成線性相關，則某天售出9箱水時，預計收入為多少元？

（2）假設甲、乙、丙三名學生均獲獎，且各自獲一等獎和二等獎的可能性相同，求三人獲得獎學金之和不超過1000元的概率．

附：回歸方程，其中．

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【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點E，F分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓的中心為原點，左焦點為，離心率為，不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于兩點.

（1）若為線段的中點，求直線的方程.

（2）求點是直線上一點，點在橢圓上，且滿足，設直線與直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

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【題目】如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角為，，，，，.

（1）求證：平面；

（2）為線段上的點，當時，求二面角的余弦值.

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