Question

12．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長均為2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M為BB₁的中點，O_l為上底面對角線的交點．
（Ⅰ）求證：O₁M⊥平面ACM₁；
（Ⅱ）求C_l到平面ACM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥O₁M，根據(jù)勾股定理，證明O₁M⊥AM，即可證明：O₁M⊥平面ACM₁；
（Ⅱ）證明C₁到平面ACM的距離等于O₁到平面ACM的距離，即可求C_l到平面ACM的距離．

解答 （Ⅰ）證明：連接AO₁，BD
∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面DBB₁D₁，
又∵O₁M?平面DBB₁D₁，
∴AC⊥O₁M．
∵直四棱柱所有棱長均為2，
∠BAD=$\frac{π}{3}$，M為BB₁的中點，
∴BD=2，AC=2$\sqrt{3}$，B₁M=BM=1，
∴O₁M²=O₁B₁²+B₁M²=2，AM²=AB²+BM²=5，O₁A²=O₁A₁²+A₁A²=7，
∴O₁M²+AM²=O₁A²，
∴O₁M⊥AM．
又∵AC∩AM=A，
∴O₁M⊥平面ACM．…（6分）
（Ⅱ）解：∵A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面ACM，
即C₁到平面ACM的距離等于O₁到平面ACM的距離，
由（Ⅰ）得O₁M⊥平面ACM，且O₁M=$\sqrt{2}$，
即點C₁到平面ACM的距離為$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查了線面垂直的判定，點C₁到平面ACM的距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．