Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線為，求的值；

（2）設(shè)，，證明：當(dāng)時，的圖象始終在的圖象的下方；

（3）當(dāng)時，設(shè)，（為自然對數(shù)的底數(shù)），表示導(dǎo)函數(shù)，求證：對于曲線上的不同兩點，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．

Answer 1

（1）；（2）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件寫出切線方程為，再與對比系數(shù)即可；（2）只需證明當(dāng)時即可；（Ⅲ）由題意證明即

設(shè)只需證明在上滿足即可，，將看作自變量求導(dǎo)易得是的增函數(shù)，所以，同理，故

試題解析：（1），此時，又，所以曲線在點處的切線方程為，由題意得，，. 3分

（2）則

在單調(diào)遞減，且

當(dāng)時，即，

當(dāng)時，的圖像始終在的圖象的下方. 7分

（3） 由題，.

∵，∴，∴，

即， 9分

設(shè),則是關(guān)于的一次函數(shù)，故要在區(qū)間證明存在唯一性，

只需證明在上滿足.下面證明之：

，，

為了判斷的符號，可以分別將看作自變量得到兩個新函數(shù)，

討論他們的最值：

，將看作自變量求導(dǎo)得，

是的增函數(shù)，

∵，∴； ..11分

同理：

，將看作自變量求導(dǎo)得，是的增函數(shù)，

∵，∴；

∴，

∴函數(shù)在內(nèi)有零點， ..13分

又，函數(shù)在是增函數(shù)，

∴函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，從而命題成立. 14分

考點：導(dǎo)數(shù)及其綜合應(yīng)用