Question

已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左焦點，B（0，b），橢圓的離心率為

1

2

，D在x軸上，BD⊥BF，B，D，F(xiàn)三點確定的圓恰好與直線x+

3

y+3相切則橢圓的長軸長為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設F（-c，0），D（m，0）（m＞0），由兩直線垂直的條件得到mc=b²，再由離心率公式，可設c=t，則a=2t，b=

3

t，m=3t，再由直線和圓相切的條件：d=r，列出方程，解出t，即可得到長軸長．

解答： 解：設F（-c，0），D（m，0）（m＞0），
則由于BD⊥BF，則

b

-m

•

b

c

=-1，即有mc=b²，
由于橢圓的離心率為

1

2

，即有

c

a

=

1

2

，
可設c=t，則a=2t，b=

3

t，m=3t，
則DF的中點為（

m-c

2

，0）即為（t，0），
則B，D，F(xiàn)確定的圓的圓心為（t，0），半徑為

m+c

2

=2t，
由于直線x+

3

y+3與圓相切，則

|t+3|

1+3

=2t，
解得，t=1．
則a=2，即有2a=4．
故答案為：4

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關系：相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于中檔題．