Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，其中a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，找出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把定義域由零點(diǎn)分成幾個(gè)區(qū)間判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)在個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；的單調(diào)區(qū)間，說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)和方程根的轉(zhuǎn)化列式可求a的范圍．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}-ax-a，x∈R$，得f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（a，+∞）；減區(qū)間為（-1，a）．
f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（-1）＞0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
所以a的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：$（{0，\frac{1}{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．