已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若過(guò)定點(diǎn)(-2,0)的直線l與圓C相切,求直線l的方程;
(Ⅱ)若過(guò)定點(diǎn)(-1,0)且傾斜角為
π
6
的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo).
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:綜合題,直線與圓
分析:(I)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線x=-2與⊙C相切,因此直線x=-2是圓的一條切線;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y=k(x+2),則圓心C到切線l的距離d=r.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出k即可;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).過(guò)定點(diǎn)(-1,0)且傾斜角為
π
6
的直線l方程為y=
3
3
(x+1),與圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出.
解答: 解:(I)圓C:(x-1)2+(y+2)2=9.得到圓心C(1,-2),半徑r=3.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線x=-2與⊙C相切,因此直線x=-2是圓的一條切線;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y=k(x+2),則圓心C到切線l的距離d=r.
|k+2+2k
1+k2
=3,解得k=
5
12

∴切線l的方程為y=
5
12
(x+2),即5x-12y+10=0.
綜上可知:切線l的方程為x=-2或5x-12y+10=0.
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
過(guò)定點(diǎn)(-1,0)且傾斜角為
π
6
的直線l方程為y=
3
3
(x+1).
代入圓方程可化為4x2+(4
3
-4)x+4
3
-11=0,
∴x1+x2=1-
3

∴xP=
x1+x2
2
=
1-
3
2
,yP=
3
3
1-
3
2
+1)=
3
-1
2

∴P(
1-
3
2
,
3
-1
2
).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△與0的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、圓的切線的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線右支上,△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為Q,圓Q與x軸相切于點(diǎn)A,過(guò)F2作直線PQ的垂線,垂足為B,則|OA|與|OB|的長(zhǎng)度依次為( 。
A、a,a
B、a,
a2+b2
C、
a
2
,
3a
2
D、
a
2
,a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知離心率為
6
3
的橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與圓C:x2+(y-3)2=4交于A,B兩點(diǎn),且∠ACB=120°,C在AB上方,如圖所示,
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在過(guò)交點(diǎn)B,斜率存在且不為0的直線l,使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長(zhǎng)相等?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

節(jié)能燈的質(zhì)量通過(guò)其正常使用時(shí)間來(lái)衡量,使用時(shí)間越長(zhǎng),表明治療越好.若使用時(shí)間小于4千小時(shí)的產(chǎn)品為不合格產(chǎn)品;使用時(shí)間在4千小時(shí)到6千小時(shí)(不含6千小時(shí))的產(chǎn)品為合格品;使用時(shí)間大于或等于6千小時(shí)的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.某節(jié)能燈生產(chǎn)廠家為了解同一類型號(hào)的某批次產(chǎn)品的質(zhì)量情況,隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品作為樣本,得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的頻率直方圖如圖所示.若上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果中使用時(shí)間落入各組的頻率作為相應(yīng)的概率.
(1)若該批次有產(chǎn)品2000件,試估計(jì)該批次的不合格品,合格品,優(yōu)質(zhì)品分別有多少件?
(2)已知該節(jié)能燈生產(chǎn)廠家對(duì)使用時(shí)間小于6千小時(shí)的節(jié)能燈實(shí)習(xí)“三包”.通過(guò)多年統(tǒng)計(jì)可知:該型號(hào)節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位:元)與使用時(shí)間t(單位:千小時(shí))的關(guān)系式為y=
-20,t<4
20,4≤t<6
40,t≥6
.現(xiàn)從大量的該型號(hào)節(jié)能燈中隨機(jī)抽取一件,其利潤(rùn)記為X(單位:元),求X≥20的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,函數(shù)f(x)=2cosxsin(x-A)+sinA(x∈R)在x=
12
處取得最大值.
(1)求角A的大小.
(2)若a=7且sinB+sinC=
13
3
14
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinωx,2cosωx),
b
=(sinωx+
3
cosωx,cosωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=
a
b
-1,且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為
π
2

(I)求ω的值;
(Ⅱ)設(shè)△ABC的三邊a、b、c所對(duì)應(yīng)的角分別A、B、C,若f(
π
6
+
C
2
)=
5
4
,且a=1,c=
2
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:每輛汽車一次停車不超過(guò)1小時(shí)收費(fèi)6元,超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元(不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該場(chǎng)地停車,兩人停車都不超過(guò)4小時(shí).
(1)若甲停車1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為
1
3
,停車付費(fèi)多于14元的概率為
5
12
,求甲停車付費(fèi)6元的概率;
(2)若甲、乙兩人每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同,求甲乙二人停車付費(fèi)之和為28元的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若橢圓的半焦距c=
3
,直線x=±a與y=±b圍成的矩形ABCD的面積為8,求橢圓的方程;
(2)若O(
OA
OB
=0
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:
1
a2
+
1
b2
=2
;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率e滿足
3
3
≤e≤
2
2
,求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下四個(gè)命題中:
①“直線l與曲線C相切”是“直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充要條件;
②“若兩直線l1⊥l2,則它們的斜率之積等于-1”的逆命題;
③f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),“若f′(x)>0,則f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)”的否命題;
④“f′(x0)=0”是“x0是f(x)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件.
其中真命題的序號(hào)為
 

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