已知橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn).過點(diǎn)A的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),滿足OM⊥ON,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓E的左頂點(diǎn)B作y軸平行線BQ,過點(diǎn)N作x軸平行線NQ,直線BQ與NQ相交于點(diǎn)Q.若△QMN是以MN為一條腰的等腰三角形,求直線MN的方程.
【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而設(shè)直線l:x=a+my代入拋物線方程設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理可求得y1+y2和y1y2,進(jìn)而求得x1x2,進(jìn)而根據(jù)OM⊥ON得進(jìn)而求得a和b,則橢圓方程可得.
(2)先看當(dāng)QM為等腰△QMN的底邊時(shí),進(jìn)而推斷出O是線段MQ的中點(diǎn),求得m;再看當(dāng)QN為等腰△QMN的底邊時(shí),根據(jù)y1y2=-16,求得m,則直線方程可得.
解答:解:(1)F(1,0),∴a2-b2=1,A(a,0),
設(shè)直線l:x=a+my代入y2=4x中,
整理得y2-4my-4a=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

又∵?y12=4x1,y22=4x2,

由OM⊥ON得,
解得a=4或a=0(舍),得b2=15
所以橢圓E的方程為
(2)橢圓E的左頂點(diǎn)B(-4,0),所以點(diǎn)Q(-4,y2).易證M,O,Q三點(diǎn)共線.
(I)當(dāng)QM為等腰△QMN的底邊時(shí),由于ON⊥OM,∴O是線段MQ的中點(diǎn),
,所以m=0,即直線MN的方程為x=4;
(II)當(dāng)QN為等腰△QMN的底邊時(shí),
又∵?y1y2=-16,
解得,
,
所以直線MN的方程為,即;
綜上,當(dāng)△QMN為等腰三角形時(shí),直線MN的方程為x=4或
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.解題的關(guān)鍵是充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,
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