Question

4．在數(shù)列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}=\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$（n≥2），若S_n是數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和，且$\frac{{S}_{5}}{5}+\frac{{S}_{11}}{11}$=12，則S₈=（　�。�

• A． 12
• B． 24
• C． 48
• D． 96

Answer 1

分析 在數(shù)列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}=\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$（n≥2），兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n}}-$$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{（n-1）d}{2}$．利用$\frac{{S}_{5}}{5}+\frac{{S}_{11}}{11}$=12，可得$\frac{2}{{a}_{1}}$+2d+5d=12，即可得出．

解答 解：∵在數(shù)列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}=\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-$$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
∴S_n=$\frac{n}{{a}_{1}}+\frac{（n-1）n}{2}d$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{（n-1）d}{2}$．
∵$\frac{{S}_{5}}{5}+\frac{{S}_{11}}{11}$=12，
∴$\frac{2}{{a}_{1}}$+2d+5d=12，
則S₈=$\frac{8}{{a}_{1}}+\frac{8×7}{2}d$=4$（\frac{2}{{a}_{1}}+7d）$=4×12=48．
故選：48．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和數(shù)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．