Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.

（1）求證：平面；

（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）在梯形中，設(shè)，題意求得,再由余弦定理求得,滿足,得則.再由平面得，由線面垂直的判定可.進(jìn)一步得到丄平面;（Ⅱ）分別以直線為:軸，軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ,令 得到的坐標(biāo)，求出平面的一法向量.由題意可得平面的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當(dāng) 時，有最小值為,此時點(diǎn)與點(diǎn)重合.

試題解析：（Ⅰ）證明：在梯形中，∵,設(shè)，

又∵,∴,∴

∴.則.

∵平面,平面，

∴,而,∴平面.∵,∴平面.

（Ⅱ）解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，令，

則，

∴

設(shè)為平面的一個法向量，

由得，取，則，

∵是平面的一個法向量，

∴

∵，∴當(dāng)時，有最小值為，

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為.