已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn中,S3、S4、S2成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=2log
1
2
|an|+1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn;
(3)求滿足(1-
1
T2
)(1-
1
T3
)•…•(1-
1
Tn
)>
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的最大正整數(shù)n的值.
分析:(1)依題意,等比數(shù)列{an}的公比q≠1,由S3、S4、S2成等差數(shù)列可列式求得q,從而可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)知,an=(-
1
2
)
n-1
,從而可求得bn=2n-1,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn
(3))可求得(1-
1
T2
)(1-
1
T3
)…(1-
1
Tn
)=(1-
1
22
)(1-
1
32
)…(1-
1
n2
)=
n+1
2n
,由
n+1
2n
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,可求得最大正整數(shù)n的值.
解答:解:(1)若q=1,則S3=3,S4=4,S2=2,顯然S3,S4,S2不構(gòu)成等差數(shù)列,
∴q≠1.
故由S3,S4,S2成等差數(shù)列得:2•
a1(1-q4)
1-q
=
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q2)
1-q
…(2分)
∴2q4=q3+q2⇒2q2-q-1=0⇒(2q+1)(q-1)=0,
∵q≠1,
∴q=-
1
2
.…(4分)
∴an=1×(-
1
2
)
n-1
=(-
1
2
)
n-1
.…(5分)
(2)∵bn=2log
1
2
|an|+1=2log
1
2
|(-
1
2
)
n-1
|+1=2log
1
2
(
1
2
)
n-1
+1=2(n-1)+1=2n-1…(7分)
∴Tn═1+3+…+(2n-1)=
n(1+2n-1)
2
=n2.…(9分)
(3)(1-
1
T2
)(1-
1
T3
)…(1-
1
Tn

=(1-
1
22
)(1-
1
32
)…(1-
1
n2

=
22-1
22
32-1
32
n2-1
n2
=
1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)
223242•…•n2
…(11分)
=
n+1
2n
.…(13分)
n+1
2n
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,解得:n<154
11
13

故滿足條件的最大正整數(shù)n的值為154.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,考查等差數(shù)列的求和與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用,考查邏輯思維與運(yùn)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=1,bn>0,數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求證:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=
1
4
的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn中S3,S4,S2成等差數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log
1
2
|an|,若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求證:
1
6
≤Tn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,且公差不為零,而等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)分別是a1,a2,a6
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(II)若b1+b2+…bk=85,求正整數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=nan
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=
1bn(2an+3)
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=a,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an;
(1)若a1、a3、a4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)任意n∈N*都有bn≥b5成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)數(shù)列{cn}滿足 cn+1-cn=(
12
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,當(dāng)a=-20時(shí),求f(n)的最小值(n∈N*).

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