Question

已知是首項(xiàng)的遞增等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）。

【解析】

試題分析：（1）把式中的、用和進(jìn)行代換得與聯(lián)立方程組解出，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，通過觀察求的前項(xiàng)和可通過裂項(xiàng)求得，求得后代入不等式，得到一個(gè)關(guān)于和的二元一次不等式，要求的取值范圍可通過將分離出來(lái)，然后用不等式的基本性質(zhì)及函數(shù)的基本性質(zhì)即可求出的取值范圍。

試題解析：（1）由，得

（2分）

（4分）

（2）由（1）得

所以 （6分）

由已知得：恒成立，

因，所以恒成立， （7分）

令，則

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以； （8分）

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

可知隨的增大而增大，所以，所以 （9分）

綜上所訴，的取值范圍是 （10分） （其他解法請(qǐng)酌情給分）

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；2、列項(xiàng)求和法；3、基本不等式；4、函數(shù)的單調(diào)性。