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3.已知雙曲線M:x24-y25=1與橢圓N:x2a2+y22=1(a>b>0)共焦點,且橢圓N過點(22,1)
(1)求橢圓N的長軸長與短軸長
(2)設(shè)橢圓N與雙曲線M在第一象限的交點為A,公共的左焦點為F,求|AF|的值.

分析 (1)求得雙曲線的焦點坐標,可得橢圓的c=3,再由點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程和長軸長和短軸長;
(2)求得左焦點坐標,聯(lián)立雙曲線方程和橢圓方程,求得交點A的坐標,運用兩點的距離公式計算即可得到所求值.

解答 解:(1)雙曲線M:x24-y25=1的焦點為(±3,0),
由題意可得橢圓的c=3,即a2-b2=9,
又橢圓N過點(22,1),可得8a2+12=1,
解方程可得a=23,b=3,
可得橢圓的方程為x212+y23=1,
即有橢圓N的長軸長為43,短軸長為23;
(2)由題意可得F(-3,0),
聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程,可得:
{x24y25=1x212+y23=1,解得A(433,153),
可得|AF|=433+32+1532=2(1+3).

點評 本題考查雙曲線和橢圓的方程和性質(zhì),考查聯(lián)立方程組求交點,以及兩點的距離公式,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.

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