Question

設(shè)雙曲線C的中心在原點，以點A（

2

3

3

，0）為右焦點，以x=

3

6

為右準(zhǔn)線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線交于A、B兩點，若以A、B為直徑的圓經(jīng)過原點，求k的值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，依題意，由其焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程可求得a²=

1

3

，b²=1，從而可得雙曲線C的方程；
（2）聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，從而可求得

2

k2-3

+1=0，繼而可解得k的值．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由焦點坐標(biāo)得c=

2 3

3

，
準(zhǔn)線方程x=±

a2

c

，即有a²=

3

6

×

2 3

3

=

1

3

，
∵c²=a²+b²，
∴b²=1，
∴雙曲線C的方程為：3x²-y²=1；
（2）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因為以AB為直徑的圓過原點，所以O(shè)A⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．