【題目】已知函數(shù)/(x.
(1)當(dāng)時,求在最小值;
(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍;
(3)求證:.
【答案】(1)1;(2);(3)見解析
【解析】分析:(I)可先求f′(x),從而判斷f(x)在x∈[1,+∞)上的單調(diào)性,利用其單調(diào)性求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;(Ⅱ)求h′(x),可得若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,需h′(x)<0有正數(shù)解.從而轉(zhuǎn)化為:ax2+2(a﹣1)x+a<0有x>0的解.通過對a分a=0,a<0與當(dāng)a>0三種情況討論解得a的取值范圍;(Ⅲ)(法一)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,當(dāng)x>1時,,即.,再構(gòu)造函數(shù),令,有,從而,問題可解決;(法二)可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.當(dāng)n=1時,ln(n+1)=ln2,3ln2=ln8>1,成立;設(shè)時,命題成立,即,,再去證明n=k+1時,即可(需用好歸納假設(shè)).
詳解:
(1),定義域為.
∵
∴在上是增函數(shù).
.
(2)因為
因為若存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以有正數(shù)解.
即有有解.
①當(dāng)時,明顯成立.
②當(dāng)時,開口向下的拋物線,總有有解;
③當(dāng)時,開口向上的拋物線,即方程有正跟.
當(dāng)時,;
,解得.
綜合①②③知:.
綜上所述:的取值范圍為.
(3)(法一)根據(jù)(1)的結(jié)論,當(dāng)時,,即.
令,則有,
∴.
∵,
∴.
(法二)當(dāng)時,.
∵,∴,即時命題成立.
設(shè)當(dāng)時,命題成立,即.
∴時,
根據(jù)(1)的結(jié)論,當(dāng)時,,即.
令,則有,
則有,
即時命題也成立.
因此,由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三課外興趣小組為了解高三同學(xué)高考結(jié)束后是否打算觀看2018年足球世界杯比賽的情況,從全校高三年級1500名男生、1000名女生中按分層抽樣的方式抽取125名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,情況如下表:
打算觀看 | 不打算觀看 | |
女生 | 20 | b |
男生 | c | 25 |
(1)求出表中數(shù)據(jù)b,c;
(2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為觀看2018年足球世界杯比賽與性別有關(guān);
(3)為了計算“從10人中選出9人參加比賽”的情況有多少種,我們可以發(fā)現(xiàn)它與“從10人中選出1人不參加比賽”的情況有多少種是一致的.現(xiàn)有問題:在打算觀看2018年足球世界杯比賽的同學(xué)中有5名男生、2名女生來自高三(5)班,從中推選5人接受校園電視臺采訪,請根據(jù)上述方法,求被推選出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
K0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展,越來越多的消費(fèi)者開始選擇網(wǎng)絡(luò)購物這種消費(fèi)方式某營銷部門統(tǒng)計了2019年某月錦州的十大特產(chǎn)的網(wǎng)絡(luò)銷售情況得到網(wǎng)民對不同特產(chǎn)的最滿意度和對應(yīng)的銷售額(萬元)數(shù)據(jù),如下表:
特產(chǎn)種類 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 | 已 | 庚 | 辛 | 壬 | 癸 |
最滿意度 | ||||||||||
銷售額(萬元) |
求銷量額關(guān)于最滿意度的相關(guān)系數(shù);
我們約定:銷量額關(guān)于最滿意度的相關(guān)系數(shù)的絕對值在以上(含)是線性相關(guān)性較強(qiáng);否則,線性相關(guān)性較弱.如果沒有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān),則采取“末位淘汰”制(即銷售額最少的特產(chǎn)退出銷售),并求在剔除“末位淘汰”的特產(chǎn)后的銷量額關(guān)于最滿意度的線性回歸方程(系數(shù)精確到).
參考數(shù)據(jù):,,,.
附:對于一組數(shù)據(jù).其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.線性相關(guān)系數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查我市在校中學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況,從中隨機(jī)抽取了16名男同學(xué)和14 名女同學(xué),調(diào)查發(fā)現(xiàn),男、女同學(xué)中分別有12人和6人喜愛運(yùn)動,其余不喜愛.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表:
(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為性別與喜愛運(yùn)動有關(guān)?
(3)將以上統(tǒng)計結(jié)果中的頻率視作概率,從我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,若其中喜愛運(yùn)動的人數(shù)為,求的分布列和均值.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種農(nóng)作物可以生長在灘涂和鹽堿地,它的灌溉是將海水稀釋后進(jìn)行灌溉.某實驗基地為了研究海水濃度對畝產(chǎn)量(噸)的影響,通過在試驗田的種植實驗,測得了該農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如下表:
海水濃度 | |||||
畝產(chǎn)量(噸) | |||||
殘差 |
繪制散點圖發(fā)現(xiàn),可以用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量(噸)與海水濃度之間的相關(guān)關(guān)系,用最小二乘法計算得與之間的線性回歸方程為.
(1)求的值;
(2)統(tǒng)計學(xué)中常用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果,越大,回歸效果越好,如假設(shè),就說明預(yù)報變量的差異有是解釋變量引起的.請計算相關(guān)指數(shù)(精確到),并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的?
(附:殘差,相關(guān)指數(shù),其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本3000萬元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬元,且,由市場調(diào)研知,每輛車售價6萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出2019年的利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額成本)
(2)2019年產(chǎn)量為多少(百輛)時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)an= sin ,Sn=a1+a2+…+an , 在S1 , S2 , …S100中,正數(shù)的個數(shù)是( )
A.25
B.50
C.75
D.100
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校選派甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生代表學(xué)校參加市級“演講”和“詩詞”比賽,下面是他們的一段對話.甲說:“乙參加‘演講’比賽”;乙說:“丙參加‘詩詞’比賽”;丙說“丁參加‘演講’比賽”;丁說:“戊參加‘詩詞’比賽”;戊說:“丁參加‘詩詞’比賽”.
已知這5個人中有2人參加“演講”比賽,有3人參加“詩詞”比賽,其中有2人說的不正確,且參加“演講”的2人中只有1人說的不正確.根據(jù)以上信息,可以確定參加“演講”比賽的學(xué)生是
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丁和戊 D. 甲和丁
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