Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，過其對角線BD₁的平面分別與AA₁、CC₁相交于點E，F(xiàn)，求截面四邊形BED₁F面積的最小值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由條件根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，證得四邊形EBFD₁的形狀為平行四邊形．作EH⊥BD₁，H為垂足，且H∈BD₁，要求四邊形BED₁F面積的最小值，轉(zhuǎn)化為求EH的最小值． 由AA₁∥平面BDD₁B₁，可得當(dāng)且僅當(dāng)EH為直線AA₁到平面BDD₁B₁的距離時，EH最小為

2

2

，從而求得截面四邊形BED₁F面積的最小值2×（

1

2

BD₁•EH）的值．

解答： 解：因為在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁DD₁與平面BB₁C₁CP平行，
而經(jīng)過對角線BD₁的平面分別與這兩個相交于D₁E與BF，
根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故D₁E∥BF，同理可證BE∥FD₁，
所以四邊形EBFD₁的形狀為平行四邊形．
作EH⊥BD₁，H為垂足，且H∈BD₁，要求四邊形BED₁F面積的最小值，轉(zhuǎn)化為求EH的最小值．∵AA₁∥平面BDD₁B₁，∴當(dāng)且僅當(dāng)EH為直線AA₁到平面BDD₁B₁的距離時，EH最小，易得EH_min=

2

2

，
截面四邊形BED₁F面積的最小值為2×（

1

2

BD₁•EH）=

3

a×

2

2

=

6

2

a．

點評：本題主要考查正方體的性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．