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20.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,AD是BC邊上的中線,且點(diǎn)G為△ABC的重心,若sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A,且S△ABC=23,則|AG|的最小值為223

分析 由正弦定理,余弦定理化簡(jiǎn)已知可求A的值,利用三角形面積公式可求bc=8,再利用(2AD)2+a2=2(b2+c2),結(jié)合基本不等式確定AD2的最小值,利用AG=2GD.即可求出AG的最小值.

解答 解:∵sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A,
∴由正弦定理可得,a2=b2+c2+bc,①
∴由余弦定理可得,cosA=2+c2a22bc=-12
∴A=120°,
∵S△ABC=23,
12bcsinA=23
∴bc=8,
∵AD是BC邊上的中線,
∴由余弦定理可得:(2AD)2+a2=2(b2+c2)②,
∴由①②可得:4AD2=b2+c2-bc≥bc=8,
∴AD的最小值是2
∵點(diǎn)G為△ABC的重心,AG=2GD.
∴AG的最小值為223
故答案為:223

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理、余弦定理,基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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8.下列說(shuō)法正確的是( �。�
A.“x2+x-2>0”是“x>l”的充分不必要條件
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D.命題“若x=π4,則tanx=1的逆命題為真命題

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(2)若b=4a,求c的大小及△ABC的面積.

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A.8B.-8C.89D.-89

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