Question

11．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2-x）=2，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x²，當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，$f（x）+2=\frac{2}{{f（\sqrt{x+1}）}}$，若定義在（-1，3）上的函數(shù)g（x）=f（x）-t（x+1）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}，+∞）$
• C． $（0，6+2\sqrt{7}）$
• D． $（0，6-2\sqrt{7}）$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分別求出函數(shù)f（x）的解析式以及兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由題可知函數(shù)在x∈（-1，1]上的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}x∈（-1，0]\\{x^2}x∈（0，1]\end{array}\right.$，
又由f（x）+f（2-x）=2可知f（x）的圖象關(guān)于（1，1）點(diǎn)對(duì)稱，
可將函數(shù)f（x）在x∈（-1，3）上的大致圖象呈現(xiàn)如圖
根據(jù)y=t（x+1）的幾何意義，x軸位置和圖中直線位置為y=t（x+1）表示直線的臨界位置，其中x∈[1，2）時(shí)，f（x）=-（x-2）²+2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=t（x+1）\\ y=-{（x-2）^2}+2\end{array}\right.$，得x²+（t-4）x+t+2=0．
并令△=0，可求得$t=6-2\sqrt{7}$，
或t=6+2$\sqrt{7}$．
∵x₁+x₂=-（t-4）＞0，
∴t＜4，
則t=6+2$\sqrt{7}$不成立，
即t=6-2$\sqrt{7}$∴
因此直線的斜率t的取值范圍是$（0，6-2\sqrt{7}）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是最近熱點(diǎn)的函數(shù)圖象辨析問題，是一道較為復(fù)雜的難題．作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．