Question

18．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距為c，原點到直線l：ax+by=ab的距離等于$\frac{1}{3}$c+1，則c的最小值為6．

Answer 1

分析 先根據(jù)點到直線的距離求得知$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{3}$c+1，進而根據(jù)均值不等式的性質(zhì)求得ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{2}$，建立不等式關系進行求解即可求得c的范圍．

解答 解：原點到直線l：ax+by=ab的距離d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{3}$c+1，
∴ab=$\frac{1}{3}$c²+c
∵ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{2}$
∴$\frac{1}{3}$c²+c≤$\frac{{c}^{2}}{2}$，
即c²-6c≥0，解得c≥6或c≤0（舍去），
即c的最小值為6
故答案為：6

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是利用點到直線的距離求得a，b和c的關系，結(jié)合基本不等式是解決本題的關鍵．