Question

2．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ+4cosθ+$\frac{5}{2ρ}$=0．以極點O為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
（Ⅰ）寫出C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N分別為C₁，C₂的任意一點，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （I）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ+4cosθ+$\frac{5}{2ρ}$=0，化為2ρ²+8ρcosθ+5=0，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ可得直角坐標(biāo)方程．由曲線C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，利用cos²α+sin²α=1可得參數(shù)方程．
（II）由（I）可設(shè)：N（cosα，3sinα），圓心P（-2，0），可得|NP|=$\sqrt{（cosα+2）^{2}+（3sinα）^{2}}$=$\sqrt{-8（cosα-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{27}{2}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)求值即可得出．

解答 解：（I）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ+4cosθ+$\frac{5}{2ρ}$=0，化為2ρ²+8ρcosθ+5=0，
可得直角坐標(biāo)方程：2（x²+y²）+8x+5=0，配方化為：（x+2）²+y²=$\frac{3}{2}$．
由曲線C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（II）由（I）可設(shè)：N（cosα，3sinα），圓心P（-2，0），
∴|NP|=$\sqrt{（cosα+2）^{2}+（3sinα）^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}α+4cosα+4+9（1-co{s}^{2}α）}$=$\sqrt{-8（cosα-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{27}{2}}$，
當(dāng)cos$α=\frac{1}{4}$時，|NP|取得最大值$\sqrt{\frac{27}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
∴|MN|的最大值=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$=2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程化為普通方程、兩點之間的距離公式、三角函數(shù)化簡求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．