Question

12．已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），x∈R，F（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x）（x≥0）\\-f（x）（x＜0）\end{array}$．
（1）f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在 （1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設b-2=2a，記F（x）在[0，1]上的最大值為G（a），求函數G（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據函數有最小值可判斷f（x）為開口向上的二次函數，且△=0，列方程解出a，b；
（2）求出g（x）的對稱軸，得出[-2，2]在對稱軸一側，列出不等式解出k；
（3）求出f（x）的對稱軸，對[0，1]與對稱軸的關系進行討論f（x）的單調性，從而得出G（a）．

解答 解：（1）∵f（x）的值域為[0，+∞），∴f（x）為二次函數，且△=b²-4a=0，
又f（-1）=a-b+1=0，解得a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1，∴g（x）的對稱軸為x=$\frac{k-2}{2}$，
∵g（x）在[-2，2]上是單調函數，∴$\frac{k-2}{2}$≤-2或$\frac{k-2}{2}$≥2．
解得k≤-2或k≥6．
（3）∵b-2=2a，∴b=2a+2，∴f（x）=ax²+（2a+2）x+1，
∴當x∈[0，1]時，F（x）=ax²+（2a+2）x+1，
若a=0，則F（x）=2x+1，∴F（x）在[0，1]上是增函數，∴G（a）=F（1）=3，
若a≠0，則F（x）的對稱軸為x=-$\frac{2a+2}{2a}$=-1-$\frac{1}{a}$，
當a＞0時，-1-$\frac{1}{a}$＜0，F（x）在[0，1]上是增函數，∴G（a）=F（1）=3a+3．
當a＜0時，若-1≤-1-$\frac{1}{a}$≤1，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$時，G（a）=F（-1-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{a}$-1，
若-1-$\frac{1}{a}$＞1，即-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，F（x）在[0，1]上是增函數，∴G（a）=F（1）=3a+3．
若-1-$\frac{1}{a}$＜0，即a＜-1時，F（x）在[0，1]上是減函數，∴G（a）=F（0）=1，
∴G（G）=$\left\{\begin{array}{l}{1，a＜-1}\\{-a-\frac{1}{a}-1，-1≤a≤-\frac{1}{2}}\\{3a+3，a＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴G（a）在（-∞，-1）上為常量函數，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上是減函數，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數，
∴G（a）的最小值為G（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了函數解析式，函數單調性，最值的計算，分類討論思想，屬于中檔題．