Question

4．某省去年高三200000名考生英語聽力考試服從正態(tài)分布N（17，9），現(xiàn)從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取50名考生的成績，發(fā)現(xiàn)全部介于[6，30]之間，將成績按如圖方式分成6組：第1組[6，10），第2組[10，14），…，第6組[26，30），如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估算該校50名考生的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）求這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）從這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的人中任意抽取2人，該2人成績排名（從高到低）在全省前260名的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能估算該校50名考生的眾數(shù)和中位數(shù)．
（Ⅱ）先求出這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的頻率，由此能求出這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的人數(shù)．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖估算該校50名考生的眾數(shù)為：16，
中位數(shù)為：14+$\frac{0.5-（0.02+0.05）×4}{0.08×4}$×4=15.875．
（Ⅱ）這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的頻率為（0.03+0.02）×4=0.2，
∴這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的人數(shù)為：50×0.2=10．
（Ⅲ）這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的人數(shù)為10人，其中成績排名（從高到低）在全省前260名的人數(shù)有4人，
從這50名考生成績?cè)赱22，30]內(nèi)的人中任意抽取2人，基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{2}$=45，
由題意X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{45}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{24}{45}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{6}{45}$，
∴EX=$0×\frac{15}{45}+1×\frac{24}{45}+2×\frac{6}{45}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．