Question

如圖所示，設(shè)鐵路AB=50，B、C之間距離為10，現(xiàn)將貨物從A運(yùn)往C，已知單位距離鐵路費(fèi)用為2，公路費(fèi)用為4，問在AB上何處修筑公路至C，可使運(yùn)費(fèi)由A到C最�。�

Answer 1

分析：由已知，我們可計(jì)算出公路上的運(yùn)費(fèi)和鐵路上的運(yùn)費(fèi)，進(jìn)而得到由A到C的總運(yùn)費(fèi)，
利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以分析出函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的最小值點(diǎn)，得到答案．

解答：解：設(shè)M為AB上的一點(diǎn)，且MB=x，于是AM上的運(yùn)費(fèi)為2（50-x），MC上的運(yùn)費(fèi)為4

102+x2

，
則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為
p（x）=2（50-x）+4

100+x2

（0≤x≤50）．
p′（x）=-2+

4x

100+x2

，
令p′（x）=0，解得x₁=

10

3

，x₂=-

10

3

（舍去）．
當(dāng)x＜

10

3

時(shí)，p′（x）＜0；當(dāng)x＞

10

3

時(shí)，p′（x）＞0，
故當(dāng)x=

10

3

時(shí)，p（x）取得最小值．
即在離點(diǎn)B距離為

10 3

3

的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)，貨物運(yùn)費(fèi)最省．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值最小值問題中的應(yīng)用，函數(shù)最值的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．