Question

已知數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N^*，a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差數(shù)列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比數(shù)列．
（1）若a₂=1，a₅=3，求a₁的值；
（2）設(shè)a₁＜a₂，求證：對任意n∈N^*，且n≥2，都有

an+1

an

＜

a2

a1

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在已知條件中，取n為具體值可得a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列，由等差中項的概念和等比中項的概念結(jié)合a₂=1，a₅=3列式求得a₁的值；
（2）當n為大于等于3的奇數(shù)時，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等差數(shù)列，利用作差法證明

an+2

an+1

≤

an+1

an

；
當n為大于等于2的偶數(shù)時，由已知可得a_n，a_n+1，a_n+2成等比數(shù)列，由等比中項的概念可得

an+2

an+1

=

an+1

an

，
則有

an+2

an+1

≤

an+1

an

≤…≤

a3

a2

．驗證

a3

a2

＜

a2

a1

后即可得到對任意n∈N^*，且n≥2，都有

an+1

an

＜

a2

a1

．

解答： （1）解：由a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差數(shù)列，可知a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列，
由a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比數(shù)列，可知a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列，
則

2=a1+a3 a32=a2a4 2a4=a3+a5

，
又a₂=1，a₅=3，
∴

2=a1+a3 a32=a4 2a4=a3+3

，則2a32=a3+3，解得a3=

3

2

或a₃=-1（舍），
∴a1=2-

3

2

=

1

2

；
（2）證明：①若n為奇數(shù)且n≥3時，則a_n，a_n+1，a_n+2成等差數(shù)列，
∵

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+2an-an+12

an+1an

=

(2an+1-an)an-an+12

an+1an

=-

(an+1-an)2

an+1an

≤0，
∴

an+2

an+1

≤

an+1

an

；
②若n為偶數(shù)且n≥2時，則a_n，a_n+1，a_n+2成等比數(shù)列，
∴

an+2

an+1

=

an+1

an

，
由①②可知，對任意n≥2，n∈N^*，有

an+2

an+1

≤

an+1

an

≤…≤

a3

a2

．
又∵

a3

a2

-

a2

a1

=

2a2-a1

a2

-

a2

a1

=

2a2a1-a12-a22

a2a1

=-

(a1-a2)2

a2a1

，
∵a₂＞a₁＞0，
∴-

(a1-a2)2

a1a2

＜0，即

a3

a2

＜

a2

a1

．
綜上，

an+1

an

＜

a2

a1

．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了利用作差法求證不等式，綜合考查了學生的靈活應變能力，屬有一定難度的題目．