Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)．

（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；

（2）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，試求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 當(dāng), ；當(dāng)時(shí),；

(3) 當(dāng)時(shí),得,不存在實(shí)數(shù)滿足要求；

當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù),其取值范圍是

【解析】

(1)代入求證明矛盾即可.
(2) 由,代入可得再分情況與的情況進(jìn)行討論即可.

(3)由第(2)問(wèn)求得的,代入再參變分離求解即可.

(1)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使是等比數(shù)列,,

由,分別令有,

.又

即,矛盾,

所以不是等比數(shù)列.

(2)因?yàn)?/span>

,又,

所以當(dāng),,此時(shí).

當(dāng)時(shí),,,

此時(shí),數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.

(3)要使對(duì)任意正整數(shù)成立，

則，∴

得.

令,則當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),,

的最大值為,的最小值為.

故,即

當(dāng)時(shí),得,不存在實(shí)數(shù)滿足要求；

當(dāng)時(shí),存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù),都有成立,且的取值范圍是