Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（Ⅰ）求a，b的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[1，3]時，f（x）＞1-4c²恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先對函數(shù)進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=2取得極值，說明導函數(shù)在x=2時值為0，再根據(jù)其圖象在x=1處的切線斜率為-3，列出方程組即可求出a、b的值，進而可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）可以求出函數(shù)在閉區(qū)間x∈[1，3]上的最小值，這個最小值要大于1-4c²，解不等式可以得出實數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=3x²+6ax+3b，由該函數(shù)在x=2處有極值，
故f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0…①
又其圖象在圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3•1²+6a•1+3b=-3
即2a+b+2=0…②
由①，②，解得a=-1，b=0------（4分）
∴f′（x）=x³-3x²+c
（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
由f′（x）=0
得x₁=0，x₂=2．
列表如下

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）-----（7分）
（Ⅱ）由（1）可知列表如下

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	-2+c	↘	-4+c	↗	c

∴f（x）在[1，3]的最小值是-4+c
∴c-4＞1-4c²
解得c＞1或c＜-

5

4

------（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題和函數(shù)恒成立問題，綜合性較強，屬于難題．