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7.已知公比小于1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=23且10a2-3a1=3a3(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:
(2)設(shè)bn=log3(1-Sn+1),若\frac{1}{_{1}_{2}}+12b3+…+\frac{1}{_{n}_{n+1}}=2551,求n.

分析 (1)由題意可得等比數(shù)列{an}公比為q,把a(bǔ)2、a3用a1表示,求得a2,進(jìn)一步求出a1,代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案,
(2)根據(jù)求得的bn=-n-1,1nn+1=1n+11n+2,利用“裂項(xiàng)求和”即可得出,121n+2=2551,解得n的值.

解答 解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q,
a1=23,10a2-3a1=3a3(n∈N*),
∴10q=3+2q2,解得:q=13,q=3(舍去),
an=2323n-1=2•(23n,
(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=23[113n+1]113=1-(23n+1,
bn=log3(1-Sn+1)=log313n+1=-n-1,
\frac{1}{_{n}_{n+1}}=1n+1n+2=1n+11n+2,
\frac{1}{_{1}_{2}}+12b3+…+\frac{1}{_{n}_{n+1}}=(12-13)+(13-14)+…+(1n+11n+2),
=121n+2,
121n+2=2551,
∴n=100.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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