【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2 ,四邊形BDEF是平行四邊形,BD與AC交于點G,O為GC的中點,且FO⊥平面ABCD,F(xiàn)O=

(1)求BF與平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求三棱錐O﹣ADE的體積;
(3)求證:平面AEF⊥平面BCF.

【答案】
(1)解:連接BO,因為正方形ABCD的邊長為2 ,所以BD⊥AC,且DB=AC=4,又O為GC的中點,所以GO=1,GB=2,BO=

又FO⊥平面ABCD,且 ,所以∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角

所以,tan∠FBO=


(2)解:由上知,AO=3,所以SADO= = =3

又BDEF是平行四邊形,且FO⊥平面ABCD, ,所以三棱錐E﹣ADO的高為

所以VOADE=VEADO= =


(3)證明:由正方形ABCD知BD⊥AC.因為FO⊥平面ABCD,所以BD⊥FO,

從而BD⊥平面ACF,得BD⊥CF.因為BD∥EF,所以CF⊥EF.

由(1)知AC=4,OC=1,AO=3,又 ,故有 ,F(xiàn)C=2,

因AF2+FC2=AC2,所以CF⊥AF,由于EF∩AF=F,

所以CF⊥平面AEF,而CF平面BCF,

所以平面AEF⊥平面BCF


【解析】(1)證明∠FBO即為BF與平面ABCD所成的角,即可求BF與平面ABCD所成的角的正切值;(2)利用VOADE=VEADO , 求三棱錐O﹣ADE的體積;(3)證明CF⊥平面AEF,即可證明平面AEF⊥平面BCF.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

練習(xí)冊系列答案
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單價x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y(件)

90

84

83

80

75

68

單價x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y(件)

90

84

83

80

75

68

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(2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)

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