Question

15．近幾年來，我國地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)霧霾天氣，某學校為了學生的健康，對課間操活動做了如下規(guī)定：課間操時間若有霧霾則停止組織集體活動，若無霧霾則組織集體活動．預報得知，這一地區(qū)在未來一周從周一到周五5天的課間操時間出現(xiàn)霧霾的概率是：前3天均為50%，后2天均為80%，且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨立的．
（1）求未來一周5天至少一天停止組織集體活動的概率；
（2）求未來一周5天不需要停止組織集體活動的天數(shù)X的分布列；
（3）用η表示該校未來一周5天停止組織集體活動的天數(shù)，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（3，5）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出未來一周5天都組織集體活動的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有一天停止組織集體活動的概率．
（2）由題意X的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出不需要停止組織集體活動的天數(shù)X的分布列．
（3）由已知先求出η=3或η=4，由此能求出事件A發(fā)生的概率．

解答 解：（1）未來一周5天都組織集體活動的概率：
P=（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{200}$，
∴至少有一天停止組織集體活動的概率是：1-P=$\frac{199}{200}$．
（2）由題意X的取值是0，1，2，3，4，5，
P（X=1）=（$\frac{1}{2}$）³×${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}+{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}+{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{73}{200}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}+{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{43}{200}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{11}{200}$，
P（X=5）=$（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{1}{200}$，
∴不需要停止組織集體活動的天數(shù)X的分布列是：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{2}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{73}{200}$	$\frac{43}{200}$	$\frac{11}{200}$	$\frac{1}{200}$

（3）∵函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（3，5）上有且只有一個零點，且0≤η≤5，
則f（3）f（5）＜0，∴$\frac{8}{3}＜$η＜$\frac{24}{5}$，
∴η=3或η=4，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=[${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$+$（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}$]+[（$\frac{1}{2}$）³×${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$]=$\frac{129}{200}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、對立事件概率計算公式的合理運用．