Question

【題目】集合，對(duì)于正整數(shù)m，集合S的任一m元子集中必有一個(gè)數(shù)為另外m-1個(gè)數(shù)乘積的約數(shù).則m的最小可能值為__________。

Answer 1

【答案】26

【解析】

所有不大于100的素?cái)?shù)共有25個(gè)，記其構(gòu)成的組合為

T=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97｝.

注意到，集合T中每一個(gè)元素均不能被T中其余24個(gè)元素之積整除.

故.

另一方面，用反證法證明：對(duì)于集合S的任一26元子集，其中必有一個(gè)數(shù)為另外25個(gè)數(shù)乘積的約數(shù).

為敘述方便，對(duì)于素?cái)?shù)p和正整數(shù)x，記表示x中縮含p的冪指數(shù).

若存在集合S的某個(gè)26元子集A，對(duì)每個(gè)，x均不整除集合A中其余25個(gè)數(shù)乘積，則對(duì)每個(gè)，存在x的素因子p，使得，稱這樣的素?cái)?shù)p為x的特異素因子，這種特異素因子不是唯一的.

由于，且所有特異素因子均屬于集合S，而集合S中只有25個(gè)素?cái)?shù)，故必有集合A的兩個(gè)不同元素x、y具有同一個(gè)特異素因子p.

由特異性及，知.

類似地，，矛盾.

綜上，m的最小可能值為26.