Question

已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，解關(guān)于x的不等式f（tx²-1）+f（t）＜0，其中t∈R且t≠1．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)把不等式轉(zhuǎn)化為f（tx²-1）＜-f（t）=f（-t）；再結(jié)合其單調(diào)性得到tx²＞1-t；最后再通過對(duì)t的各種取值分類討論即可求出原不等式的解集．

解答：解：因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，
所以f（tx²-1）+f（t）＜0可化為f（tx²-1）＜-f（t）=f（-t）．
又f（x）單調(diào)遞減，且t≠1，所以tx²-1＞-t，即tx²＞1-t．…．（4分）
①當(dāng)t＞1時(shí)，x2＞

1-t

t

，而

1-t

t

＜0，所以x∈∅；…（6分）
②當(dāng)0＜t＜1時(shí)，1-t＞0，解得x＞

1-t t

或x＜-

1-t t

；…..（8分）
③當(dāng)t≤0時(shí)，tx²≤0，而1-t＞0，所以x∈∅．…．（10分）
綜上，當(dāng)t≤0或t＞1時(shí)，不等式無解；
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＞

1-t t

或x＜-

1-t t

}．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性的綜合應(yīng)用．在解決這一類型題目時(shí)，一般是先根據(jù)奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性來解不等式．