Question

18．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1．
（1）求異面直線A₁B₁與BD所成角的大��；
（2）設(shè)直線AB₁與平面ABCD所成的角為60°，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）確定∠ABD為異面直線A₁B₁與BD所成角，即可得出結(jié)論；
（2）在Rt△B₁BA中，AB=1，∠B₁AB=60°，求出B₁B，利用V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$求出三棱錐B₁-ABC的體積．

解答 解：（1）∵A₁B₁∥AB，
∴∠ABD為異面直線A₁B₁與BD所成角，
∵ABCD為矩形，AB=AD，
∴∠ABD=45°，
∴異面直線A₁B₁與BD所成角為45°；
（2）∵B₁B⊥平面ABCD，
∴∠B₁AB為直線AB₁與平面ABCD所成的角，即∠B₁AB=60°，
在Rt△B₁BA中，AB=1，∠B₁AB=60°，
∴B₁B=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐B₁-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題在長方體中求異面直線所成角，并求四面體的體積，著重考查了長方體的性質(zhì)、異面直線所成角和體積的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．