Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|${\frac{1}{2}$x+1|的最小值為2．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若a＞0，求不等式f（x）≤4的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，利用函數(shù)f（x）=|x-a|+|${\frac{1}{2}$x+1|的最小值為2，建立方程求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）由題意，a=2，不等式f（x）≤4，即|x-2|+|${\frac{1}{2}$x+1|≤4，結(jié)合圖象求不等式f（x）≤4的解集．

解答 解：（Ⅰ）a≥-2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+1-a，x≥a}\\{-\frac{1}{2}x+1+a，-2≤x≤a}\\{-\frac{3}{2}x+a-1，x≤-2}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=1+$\frac{a}{2}$=2，∴a=2；
a≤-2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+1-a，x≥-2}\\{\frac{3}{2}x-a-1，a≤x≤-2}\\{-\frac{3}{2}x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=-1-$\frac{a}{2}$=2，∴a=-6；
（Ⅱ）由題意，a=2，不等式f（x）≤4，即|x-2|+|${\frac{1}{2}$x+1|≤4
x＞2時，$\frac{3}{2}$x-1=4，
∴x=$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{2}x+3=4$，
∴x=-2，
∵|x-2|+|${\frac{1}{2}$x+1|≤4，
∴不等式的解集為[-2，$\frac{10}{3}$]．

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查絕對值不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．