Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-mx-1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1）
• B． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]
• C． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e-1）
• D． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e-1]

Answer 1

分析 方程f（x）-mx-1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$與直線y=mx+1的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而結(jié)合圖象求解．

解答 解：∵方程f（x）-mx-1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$與直線y=mx+1的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$與直線y=mx+1的圖象如下，

易知直線y=mx+1恒過點(diǎn)C（0，1），且點(diǎn)A（1，e），B（3，e）；
故${k}_{{1}_{1}}$=k_AC=$\frac{e-1}{1-0}$=e-1，${k}_{{l}_{3}}$=k_BC=$\frac{e-1}{3-0}$=$\frac{e-1}{3}$；
f′（x）=e^x，f′（0）=e⁰=1；
故${k}_{{l}_{2}}$=1；
故結(jié)合函數(shù)的圖象可知，
$\frac{e-1}{3}$＜m＜1或1＜m≤e-1，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．