Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時，判斷函數(shù)f（x）只有的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所有其導(dǎo)數(shù)為0時在定義域內(nèi)有解，再列出b關(guān)于x的式子求解即可．
（2）利用函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性和最值研究零點(diǎn)的個數(shù)，對f（x）求導(dǎo)，找到單調(diào)區(qū)間，確定最值f（1）=0，對于?x≠1，f（x）＜0，則得到零點(diǎn)個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，∴f，(x)=

1

x

+2x-b=0在(0，+∞)內(nèi)有解，
即b=

1

x

+2x對?x∈（0，+∞）有解，當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=2x，即x=

2

2

時，

1

x

+2x取得最小值2

2

∴只需b≥2

2

∴b的取值范圍為[2

2

，+∞）
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值為0；
當(dāng)x≠1時，f（x）＜f（1）=0，
即f（x）只有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．