(本小題滿分14分)已知函數(shù)
對(duì)于任意
都有
且當(dāng)
時(shí),有
。
(1) 判斷
的奇偶性與單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2) 設(shè)不等式
對(duì)于一切
恒成立,求整數(shù)
的最小值。
解:(1)令
,得
,解得
令
得
,
所以,
是奇函數(shù)。 ………………………3分
設(shè)
,則
,由條件得
,
因此,
所以,
在
上為減函數(shù)。 ………………………6分
(2)由
,得
,因此,
,所以原不等式可化為
;
①當(dāng)
時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法可證得
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
。(
)
ⅰ。當(dāng)
時(shí),左邊=
=右邊,等式成立。
ⅱ。假設(shè)
時(shí)等式成立,即
。
當(dāng)
時(shí),
這說(shuō)明當(dāng)
時(shí)等式也成立。
根據(jù)ⅰ、ⅱ可知,對(duì)任意
,均有
成立。
②當(dāng)
時(shí),
式顯示成立;
③當(dāng)
時(shí),由奇函數(shù)性質(zhì)可證明
式也成立;
所以,有
,
由單調(diào)性得
,對(duì)于
恒成立!10分
解法一:由
恒成立,令
。
由基本不等式可得
,因此
,
又由
,得
。 ………………14分
解法二:設(shè)
,
對(duì)于
恒成立。
①若
,此時(shí)
無(wú)解;
②若
。
③若
。
綜上可得:
又
,所以
。 ………………14分
解法三:由已知易得
,令
,得
,因此
,即
,又由于
可取到
,所以
。 ………………14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
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的圖象,可以把
的圖象 ( )
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C.向右平移個(gè)單位 | D.向左平移個(gè)單位 |
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(14分).某飛機(jī)制造公司一年中最多可生產(chǎn)某種型號(hào)的飛機(jī)100架。已知制造x架該種飛機(jī)的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3000x-20x2 (單位:萬(wàn)元),成本函數(shù)C(x)="500x+4000" (單位:萬(wàn)元)。利潤(rùn)是收入與成本之差,又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)¦(x)的邊際利潤(rùn)函數(shù)M¦x)定義為:M¦x)=¦(x+1)-¦(x).
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設(shè)函數(shù)
(
R)滿足
,
,則函數(shù)
的圖像是
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設(shè)
是
上的函數(shù),且滿足
,并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)
都有
成立,則
▲ .
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定義在R上的函數(shù)
滿足
,且當(dāng)
時(shí),
,則
=
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若函數(shù)
f (
x)=
則不等式
f (
x)<4的解集是
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