Question

【題目】

已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.

（1）求曲線的方程；

（2）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明見解析.

【解析】

試題（1）思路一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，

依題意可知曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

得到曲線的方程為.

思路二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，

由，化簡(jiǎn)即得.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：

由（1）知拋物線的方程為，

設(shè)，得，

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，進(jìn)一步得切線的方程為.

由，得.

由，得.

根據(jù)，得圓心，半徑，

由弦長(zhǎng)，半徑及圓心到直線的距離之關(guān)系，確定.

試題解析：解法一：（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，

依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等，

所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以曲線的方程為.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：

由（1）知拋物線的方程為，

設(shè)，則，

由，得切線的斜率

，

所以切線的方程為，即.

由，得.

由，得.

又，所以圓心，

半徑，

.

所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.

解法二：

（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，

則，

依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，

所以，

化簡(jiǎn)得，曲線的方程為.

（2）同解法一.