Question

為統(tǒng)計(jì)某校學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)，現(xiàn)抽出40名學(xué)生成績(jī)，得到樣本頻率分布直方圖，如圖所示，規(guī)定不低于60分為及格，不低于85分為優(yōu)秀．

（1）估計(jì)總體的及格率；
（2）求樣本中優(yōu)秀人數(shù)；
（3）若從樣本中優(yōu)秀的學(xué)生里抽出2人，求這兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意分析直方圖，結(jié)合頻率=矩形的高×組距，累加不低于60分段的頻率，進(jìn)而可得答案．
（2）由題意分析直方圖，結(jié)合頻率=矩形的高×組距，累加不低于85分段的頻率，進(jìn)而根據(jù)頻數(shù)=頻率×樣本容量，得到優(yōu)秀人數(shù)；
（3）分別求出從樣本中優(yōu)秀的學(xué)生里抽出2人的基本事件總數(shù)和這兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案．

解答： 解：（1）由題意分析直方圖，
可得不低于60分段的頻率為：10×[1-（0.005+0.015）]=0.8，
故及格率為80%------------（2分）
（2）由題意分析直方圖，
可得不低于85分段的頻率為：10×（

1

2

×0.01+0.01）=0.15，
故優(yōu)秀率為15%，
故優(yōu)秀人數(shù)40×15%=6人--------------（4分）
（3）由（2）可得樣本中優(yōu)秀的學(xué)生中，85分-90分有2人，設(shè)為b₁、b₂；
90分-100分有4人，設(shè)為c₁、c₂、c₃、c₄，------------（6分）
那么一次試驗(yàn)的全部結(jié)果為：
b₁b₂，b₁c₁，b₁c₂，b₁c₃，b₁c₄，b₂c₁，
b₂c₂，b₂c₃，b₂c₄，b₂c₁，c₁c₃，c₁c₄，
c₂c₃，c₂c₄，c₃c₄共15個(gè)結(jié)果，--------------------（8分）
其中這兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的結(jié)果有：
b₁c₁，b₁c₂，b₁c₃，b₁c₄，b₂c₁，
b₂c₂，b₂c₃，b₂c₄，b₂c₁，c₁c₃，c₁c₄，
c₂c₃，c₂c₄，c₃c₄共14個(gè)結(jié)果
故這兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的概率p=

14

15

-----------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型的計(jì)算，涉及列舉法的應(yīng)用，注意結(jié)合題意中“寫出所有可能的結(jié)果”的要求，使用列舉法，注意按一定的順序列舉，做到不重不漏．