Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且 2a₁+3a₂=1，

a

2 3

=9a₂a₆．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設 b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求{

1

bn

}的前n項和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求使 

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n恒成立的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比數(shù)列的通項；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項，利用裂項法求和即可得到求{

1

bn

}的前n項和T_n；
（Ⅲ）把 

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n恒成立轉化為k≥

2n-7

2n

恒成立，求出不等式右邊的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公比為q，由

a

2 3

=9a₂a₆得

a

2 3

=9a42
所以q²=

1

9

．
由條件可知q＞0，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故數(shù)列{a_n}的通項式為a_n=

1

3n

；
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

∴

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

；
（Ⅲ） 

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n等價于

kn•2n+1

n+1

≥(7-2n)•(-

2n

n+1

)
化簡得k≥

2n-7

2n

恒成立
設d_n=

2n-7

2n

，則d_n+1-d_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n

．
當n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
當n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
∵

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，∴n=5時，d_n取得最大值為

3

32

∴使

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n（n∈N^*）恒成立的實數(shù)k≥

3

32

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合以及數(shù)列求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題目．