Question

【題目】在平面直角坐標系中，動點到定點的距離與它到直線的距離相等．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設動直線與曲線相切于點，與直線相交于點．

證明：以為直徑的圓恒過軸上某定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設出動點的坐標為，然后直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；（2）設出直線的方程為： （），聯(lián)立直線方程和拋物線方程化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式等于得到與的關(guān)系，求出的坐標，求出切點坐標，再設出的坐標，然后由向量的數(shù)量積為0證得答案，并求得的坐標．

試題解析：（1）解：設動點E的坐標為，

由拋物線定義知，動點E的軌跡是以為焦點， 為準線的拋物線，

所以動點E的軌跡C的方程為．

（2）證明：由，消去得： ．

因為直線l與拋物線相切，所以，即．

所以直線l的方程為．

令，得．所以Q．

設切點坐標，則，

解得： ， 設，

所以當，即，所以

所以以PQ為直徑的圓恒過軸上定點．