Question

如圖，已知A（1，0），B（0，2），C₁為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過C₁作C₁D₁⊥OA于D₁點(diǎn)，連接BD₁交OC₁于C₂點(diǎn)，過C₂作C₂D₂⊥OA于D₂點(diǎn)，連接BD₂交OC₁于C₃點(diǎn)，過C₃作C₃D₃⊥OA于D₃點(diǎn)，如此繼續(xù)，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），記D_n的坐標(biāo)為（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n與a_n+1的關(guān)系式，并求出a_n的表達(dá)式；
（3）設(shè)△OC_nD_n的面積為b_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意知直線BD₁的方程：

x

1 2

+

y

2

=1，直線OC₁的方程：y=2x，由此可解得C₂的橫坐標(biāo)為a2=

1

3

．
（2）設(shè)D_n（a_n，0），由題意知直線BD_n的方程為

x

an

+

y

2

=1，聯(lián)立OC₁：y=2x，可解得x=an+1=

an

an+1

，由引可知an=

1

n+1

．
（3）由題意知

S△OCnDn

S△OC1D1

=

bn

b1

=(

ODn

OD1

)2=(

an

a1

)2=4an2，由此可知S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=

1

22

+

1

32

+

1

42

++

1

(n+1)2

＜

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

n+1

＜

3

4

．

解答：解（1）∵C₁為AB中點(diǎn)，∴C₁（

1

2

，1），D₁（

1

2

，0），a1=

1

2

，
直線BD₁的方程：

x

1 2

+

y

2

=1，直線OC₁的方程：y=2x，
可解得C₂的橫坐標(biāo)為a2=

1

3

（2分）

（2）設(shè)D_n（a_n，0），直線BD_n的方程為

x

an

+

y

2

=1，聯(lián)立OC₁：y=2x，
可解得x=an+1=

an

an+1

，∴

1

an+1

=

1

an

+1（5分）
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為2公差為1的等差數(shù)列，∴

1

an

=n+1，∴an=

1

n+1

（8分）

（3）b1=S△OC1D1=

1

4

∵△OC_nD_n～△OC₁D₁
∴

S△OCnDn

S△OC1D1

=

bn

b1

=(

ODn

OD1

)2=(

an

a1

)2=4an2，
∴bn=an2=

1

(n+1)2

（11分）
S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=

1

22

+

1

32

+

1

42

++

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

=

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

n

-

1

n+1

)
=

3

4

-

1

n+1

＜

3

4

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真分析，仔細(xì)求解．