Question

已知函數(shù)f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1處取得極值2．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2ax+a，若對(duì)于任意的x₁∈R，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先由已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，列出關(guān)于a，b的方程即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（II）求f′（x），令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得函數(shù)f（x）的極小值，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0恒成立，得函數(shù)f（x）的最小值，利用二次函數(shù)的圖象，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，得出g（x）在[-1，1]上的最大值，由g（x）在[-1，1]上的最大值小于等于-2得a的范圍，結(jié)合分類(lèi)時(shí)a的范圍得a的取值范圍．

解答：解：（I）f′（x）=

m(x2+n)-mx•2x

(x2+n)2

=

-m(x2-n)

(x2+n)2

，
由題意可得

f′(1)=0 f(1)=2

，
∴

-m(1-n) (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
∴

m=4 n=1

∴f（x）=

4x

x2+1

（II）f′（x）=

-4(x2-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=-2，在x=1處取得極大值f（1）=2
又∵x＞0時(shí)，f（x）＞0，∴f（x）的最小值為-2（10分）∵對(duì)于任意的x₁∈R，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
當(dāng)a≤-1時(shí)，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）最小值為g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，g（x）的最小值為g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此時(shí)a不存在．（12分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．

點(diǎn)評(píng)：（I）考查了函數(shù)的求導(dǎo)及極值的概念，還考查了利用方程求解的思想．
（II）求二次函數(shù)在動(dòng)軸定區(qū)間的最大值，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論，求非初等函數(shù)的最值，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性．