Question

8．已知f（x）=2ln（x+2）-（x+1）²，g（x）=k（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當k=2時，求證：對于?x＞-1，f（x）＜g（x）恒成立；
（Ⅲ）若存在x₀＞-1，使得當x∈（-1，x₀）時，恒有f（x）＞g（x）成立，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出定義域和導數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，解出增區(qū)間，令f′（x）＜0，解出減區(qū)間；
（Ⅱ）令H（x）=f（x）-g（x），利用導數(shù)判斷出H（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，得出H（x）的最大值，證明H_max（x）＜0即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{2}{x+2}-2（x+1）=\frac{{-2（{x^2}+3x+1）}}{x+2}（x＞-2）$，
當f′（x）＞0 時，所以 x²+3x+1＜0，解得-2＜x，
當f′（x）＜0時，解得 $x＞\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}$，
所以 f（x） 單調(diào)增區(qū)間為$（-2，\frac{{-3+\sqrt{5}}}{2}）$，遞減區(qū)間是（$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）當k=2時，g（x）=2（x+1）．
令H（x）=f（x）-g（x）=2ln（x+2）-（x+1）²-2（x+1）．
H′（x）=$\frac{-{2x}^{2}-8x-6}{x+2}$，
令H′（x）=0，即-2x²-8x-6=0，解得x=-1或x=-3（舍）．
∴當x＞-1時，H′（x）＜0，H（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴H_max（x）=H（-1）=0，
∴對于?x＞-1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．
（Ⅲ）由（II）知，當k=2時，f （x）＜g （x）恒成立，
即對于“x＞-1，2 ln （x+2）-（x+1）2＜2 （x+1），不存在滿足條件的x₀；
當k＞2時，對于“x＞-1，x+1＞0，此時2 （x+1）＜k （x+1）．
∴2 ln （x+2）-（x+1）2＜2 （x+1）＜k （x+1），
即f （x）＜g （x）恒成立，不存在滿足條件的x₀；
令h（x）=f（x）-g（x）=2ln（x+2）-（x+1）²-k（x+1），
h′（x）=$\frac{-{2x}^{2}-（k+6）x-（2k+2）}{x+2}$，
當k＜2時，令t （x）=-2x²-（k+6）x-（2k+2），
可知t （x）與h′（x）符號相同，
當x∈（x₀，+∞）時，t （x）＜0，h′（x）＜0，h （x）單調(diào)遞減，
當x∈（-1，x₀）時，h （x）＞h （-1）=0，即f （x）-g （x）＞0恒成立，
綜上，k的取值范圍為（-∞，2）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．