Question

（2012•威海一模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，證明：對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1成立．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出a的值；
（II）對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把條件轉(zhuǎn)化為“f′（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立”，再由條件進(jìn)一步轉(zhuǎn)化二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（III）利用分析法找思路，根據(jù)斜率公式將結(jié)論轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f（x）曲線上任意兩點(diǎn)確定的割線斜率k＞1”，再轉(zhuǎn)化為“在任一點(diǎn)處的切線斜率k＞1”，即轉(zhuǎn)化為x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，再把不等式化簡(jiǎn)后，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再由條件和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，化簡(jiǎn)后根據(jù)a的范圍判斷符號(hào)即可．

解答：解：（I）由題意得，f′（x）=x-a+

a+1

x

，
∵在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，
∴在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率是

3

2

，即f′（2）=2-a+

a+1

2

=

3

2

，
解得a=2，
（II）由（I）知，f′（x）=x-a+

a+1

x

=

x2-ax+a+1

x

，且x＞0，
∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
即x²-ax+a+1≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=x²-ax+a+1，對(duì)稱軸x=

a

2

，
則

a 2 ≤0 g(0)≥0

或

a 2 ＞0 g( a 2 )≥0

，解得-1≤a≤0或0＜a≤2+2

2

，
故a的取值范圍是-1≤a≤2+2

2

，
（III）“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1”的幾何意義是函數(shù)f（x）曲線上任意兩點(diǎn)確定的割線斜率k＞1，
即在任一點(diǎn)處的切線斜率k＞1，
即證當(dāng)-1＜a＜3時(shí)，對(duì)x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，
∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

＞1，且x＞0，即x²-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，
設(shè)h（x）=x²-（a+1）x+a+1＞0，且對(duì)稱軸x=

a+1

2

，
由-1＜a＜3得，0＜

a+1

2

＜2，
則h(x)min=h(

a+1

2

)=(

a+1

2

)2-(a+1)

a+1

2

+a+1=

-(a-3)(a+1)

4

，
由-1＜a＜3得，

-(a-3)(a+1)

4

＞0，
故結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及證明不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題等，考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)方法．