Question

設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為4，點(diǎn)Q（2，）在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)動直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且，求△OAB的面積的取值范圍.

（3）過M（）的直線:與過N（）的直線:的交點(diǎn)P（）在橢圓E上，直線MN與橢圓E的兩準(zhǔn)線分別交于G，H兩點(diǎn)，求的值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）－8.

【解析】試題分析：（1）由已知b＝2，再由點(diǎn)Q在曲線上，可求得a的值；（2）設(shè)直線方程為y＝kx＋m，根據(jù)，可得k與m的關(guān)系，然后用m和k表示出三角形面積，利用均值定理可求其范圍，注意不要漏掉斜率不存在的情況；（3）利用l1、l2的交點(diǎn)找出x0,y0的關(guān)系，然后將表示為x0,y0的表達(dá)式求值。

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓E: （a>b>0）過M（2，） ，2b＝4

故可求得b＝2，a＝2

橢圓E的方程為 3分

（2）設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線L斜率存在時(shí)設(shè)方程為，

解方程組得，即，

則△＝，

即（*）

，

要使，需使，即，

所以， 即 ①

將它代入（*）式可得

P到L的距離為

將及韋達(dá)定理代入可得

當(dāng)時(shí)

由 故

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)， ，綜上S 8分

（3）點(diǎn)P（）在直線:和：上，

，

故點(diǎn)M（）N（）在直線上

故直線MN的方程，上

設(shè)G，H分別是直線MN與橢圓準(zhǔn)線，的交點(diǎn)

由和得G（－4，）

由和得H（4，）

故＝－16＋

又P（）在橢圓E：

有故

＝－16＋＝－8 13分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量