Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，且，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，試問(wèn)、、、四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

(1);(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出，利用離心率及,求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)，利用

，求出坐標(biāo)，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)求出的坐標(biāo)，推出線段的中垂線方程和，然后求出和的交點(diǎn)為，推出四點(diǎn)共圓．

試題解析：（1）由題意可得圓的方程為，

∵直線與圓相切，∴，即， 2分

又，及，得，所以橢圓方程為． 4分

（2）因直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，故有

聯(lián)立方程組，消去，得 6分

設(shè)、，可得，于是.

又，得即 8分

而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是，可得點(diǎn)

若線段、的中垂線分別為和，，則有

聯(lián)立方程組，解得和的交點(diǎn)為 10分

因此，可算得

所以、、、四點(diǎn)共圓，且圓心坐標(biāo)為半徑為 12分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合性問(wèn)題